Koelen van metalen buizen

Introductie¶

In het boek wordt in hoofdstuk 2 geschreven over warmtetransport. Dat kan op drie manieren plaatsvinden. Het is niet eenvoudig om deze drie verschillende vormen uit elkaar te houden. In het vak ‘Fysische Transportverschijnselen’, dat in het tweede jaar wordt gegeven, zal je zien dat de natuurkunde achter deze verschillende vormen van warmtetransport ook best ingewikkeld is.

#aluminium
#dikte : 1.46 mm
# diameter : 49.87 mm
# hoogte : 51.5 mm

Theorie¶

Volgens Newton’s wet van afkoeling is de snelheid waarmee een voorwerp afkoelt evenredig met het verschil in de temperatuur van het voorwerp ( $T$ ) en de omgeving ( $T_0$ ). We kunnen dit schrijven als:

\dot{Q} = -hA(T(t) - T_0),

(1)

waarin

$\dot{Q}$ de warmtestroom in $\mathrm{W}$ ,
$A$ het oppervlak waardoor koeling optreedt in $\mathrm{m}^2$ ,
$h$ de warmteoverdrachtscoëfficiënt in $\mathrm{W/(m^2 K)}$ .

Dit levert de differentiaalvergelijking

C\dot{T} = -hA(T(t) - T_0),

(2)

met $C$ de warmtecapaciteit in $\mathrm{J/kg}$ . Herschrijven met $\tau = \frac{C}{hA}$ levert:

-\tau\dot{T} = T(t) - T_0,

(3)

met als oplossing:

T(t) - T_0 = (T(0) - T_0)\text{e}^{-t/\tau}.

(4)

We kunnen hieruit dus concluderen dat $\tau$ de karakteristieke tijdsduur is waarin de temperatuur van de buis een factor $\text{e}$ verlaagd ten opzichte van de omgevingstemperatuur.

We zijn hier voor het gemak uitgegaan van een $h$ die onafhankelijk is van de temperatuur. We weten echter dat warmtetransport door straling niet lineair gaat, maar als

\dot{Q}_s = \epsilon \sigma A (T^4 - T_0^4).

(5)

Voor kleine temperatuurverschillen ( $\Delta T = T - T_0$ ) is dit te vereenvoudigen tot

\dot{Q}_s = \epsilon \sigma A ((T_0+\Delta T)^4 - T_0^4) \approx \epsilon \sigma 4A T_0^3 \Delta T.

(6)

Zolang $\Delta T$ dus relatief klein is ten opzichte van $T_0$ , kunnen we $h$ dus inderdaad als een constante beschouwen.

Methode en materialen¶

Ontwerp¶

Materialen¶

standaard met twee thermisch geïsoleerde grijparmen
metalen buis me bijpassende dop
thermometer (infrarood of thermokoppel)
knijper voor bevestigen thermokoppel op buis
warm water tussen 60 en 80 graden Celsius
(evt) schuifmaat voor bepalen dimensies buis

Procedure¶

Stop de buis in warm water en laat deze gedurende een paar minuten zitten om thermisch evenwicht te bereiken. Beantwoord ondertussen de volgende vragen met behulp van de tabel:

Materiaal	$\rho$ in $\text{kg/m}^3$	$C$ in $\text{J} / \text{(kg K)}$
messing	8,73E3	3,8E2
aluminium	2,7E3	8,8E2
staal	7,9E3	4,7E2

Pak de buis op met thermisch isolerende handschoenen (of direct met de geïsoleerde grijparm) en plaats deze in de grijparm met isolatieschoentjes. Positioneer de thermometer voor optimale temperatuurlezing. Meet als functie van tijd hoe lichaam koelt. Wacht voldoende lang zodat je de karakteristieke tijd $\tau$ voor de afkoeling kan bepalen.

Doe dit voor twee of drie configuraties:

De buis met de as in verticale richting en afgesloten met dop.
De buis met de as in verticale richting zonder dop.
(alleen bij voldoende tijd) De buis met de as in horizontale richting en afgesloten met dop.

Data analyse¶

Bepaal de karakteristieke tijd $\tau$ waarin de temperatuur van buis afneemt. Deze kan verschillend zijn voor de drie bovenstaande configuraties.
Bereken hieruit de warmteoverdrachtscoëfficiënt.
Vergelijk je resultaten met je groepsgenoten die een vergelijkbare buis hebben gemeten (dit kan klassikaal).
Welk deel van de warmteoverdrachtscoëfficiënt verwacht je dat gegeven is door de geleiding, straling en convectie? Onderbouw je redenering.

Resultaten¶

# Hier de data en de analyse
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

def exp_func(t, A, tau, T_omg):
    # A is verschiltemperatuur met omgeving aan start
    # tau is de karakteristieke tijd voor de koeling
    # T_omg is de omgevingstemperatuur
    return (A * np.exp(-t/tau) + T_omg)  

buitenoppervlak = 8.0685e-3 # bepaal zelf in m^2
warmtecapaciteit = 0.01916 # bepaal de warmtecapaciteit in J/K

fout = np.array([40.7, 38.0, 35.2, 32.5, 32.0, 31.3, 31.0, 30.1, 29.2, 28.2, 27.7, 27.1, 26.0])
times = np.array([0, 15, 67, 82, 105, 130, 168, 177, 192, 220, 258, 328, 350 ])
temps = fout +273.5

# pas beginwaardes aan naar schatting
# Het aantal maxfev moet wellicht hoger voor goede convergentie van de waarde
popt, pocv = curve_fit(exp_func, times, temps, p0=[20.5, 100, 20], maxfev=5000)

A_exp, tau_exp, T_omg_exp = popt

y_fit = exp_func(times, *popt)

plt.figure()
plt.xlabel('Time [s]')
plt.ylabel('Temperature [K]')

plt.plot(times, temps, 'bo', label='measurement')
plt.plot(times, y_fit, 'r-', 
         label='$T = %0.2f e^{-t/%0.4f} + %0.2f$' % (A_exp, tau_exp, T_omg_exp))

plt.legend()

plt.show()

h_exp = (warmtecapaciteit) / (tau_exp * buitenoppervlak)
 
print('warmeoverdrachtscoëfficiënt: {} W/m^2*K'.format(h_exp)) # warmteoverdrachtscoëfficiënt in W/m^2 K
# Sla figuren op met  
# 
# plt.savefig("Figuren/naam.png", dpi=450)

warmeoverdrachtscoëfficiënt: 0.016376789853888508 W/m^2*K

# Hier de data en de analyse met dop
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

def exp_func(t, A, tau, T_omg):
    # A is verschiltemperatuur met omgeving aan start
    # tau is de karakteristieke tijd voor de koeling
    # T_omg is de omgevingstemperatuur
    return (A * np.exp(-t/tau) + T_omg)  

buitenoppervlak = 8.0685e-3 # bepaal zelf in m^2
warmtecapaciteit = 0.01916 # bepaal de warmtecapaciteit in J/K

fout = np.array([45.0, 44.0, 43.0, 42.0, 41.0, 40.0, 39.0, 38.0, 37.0 ,36.0, 35.0, 34.0, 33.0, 32.0, 31.0 ,30.0 ])
times = np.array([0, 2.49, 6.72, 9.12, 20.69, 29.29, 36.37, 51.31, 62.43, 76.09, 94.09, 109.55, 129.43, 155.17, 192.92, 200.76   ])
temps = fout+273.5

# pas beginwaardes aan naar schatting
# Het aantal maxfev moet wellicht hoger voor goede convergentie van de waarde
popt, pocv = curve_fit(exp_func, times, temps, p0=[24.4, 100, 20], maxfev=5000)

A_exp, tau_exp, T_omg_exp = popt

y_fit = exp_func(times, *popt)

plt.figure()
plt.xlabel('Time [s]')
plt.ylabel('Temperature [K]')

plt.plot(times, temps, 'bo', label='measurement')
plt.plot(times, y_fit, 'r-', 
         label='$T = %0.2f e^{-t/%0.4f} + %0.2f$' % (A_exp, tau_exp, T_omg_exp))

plt.legend()

plt.show()

h_exp = (warmtecapaciteit) / (tau_exp * buitenoppervlak)
 
print('warmeoverdrachtscoëfficiënt: {} W/m^2*K'.format(h_exp)) # warmteoverdrachtscoëfficiënt in W/m^2 K
# Sla figuren op met  
# 
# plt.savefig("Figuren/naam.png", dpi=450)

warmeoverdrachtscoëfficiënt: 0.02312553553533526 W/m^2*K

Discussie en conclusie¶

In deze proef hebben we gekeken hoe een metalen buis afkoelt en of dit overeenkomt met wat we uit de theorie verwachten. Volgens Newtons afkoelingswet hoort de temperatuur op een exponentiële manier naar de omgevingstemperatuur toe te gaan. Dit hebben we getest door een fit te maken op onze meetgegevens. We zien duidelijk verschil tussen de metingen mét en zonder dop. De buis zonder dop koelt sneller af, want dan kan er ook via de open bovenkant warmte weg. Daardoor is de tijdconstante tau kleiner en komt de warmteoverdrachtscoëfficiënt h hoger uit. Met dop gaat het langzamer omdat het oppervlak waar warmte verloren kan gaan kleiner is. De gevonden h-waardes passen bij natuurlijke convectie in lucht. Dat betekent dat convectie het grootste deel van het warmteverlies veroorzaakt. Straling speelt maar een kleine rol omdat de temperatuurverschillen niet heel groot zijn, en geleiding naar lucht is sowieso minimaal. Onze fits sluiten goed aan bij de meetpunten en de berekende omgevingstemperatuur komt overeen met de gemeten temperatuur. Dat laat zien dat het gebruikte model (exponentiële afkoeling) gewoon goed werkt voor deze proef.

conclusie

De buis koelt echt exponentieel af, zoals de theorie voorspelt.
De dop maakt verschil: zonder dop verlies je meer warmte.
Convectie is veruit het belangrijkste warmteverliesmechanisme.