Bepaling van warmtecapaciteit van een onbekend materiaal

Introductie¶

Onbekende materialen kunnen geïdentificeerd worden door hun eigenschappen te meten. Een van deze eigenschappen is de warmtecapaciteit. In dit practicum gaan we de warmtecapaciteit van een onbekend materiaal bepalen door middel van een calorimeter experiment. Daarbij wordt een bepaalde massa van het materiaal naar een bekende temperatuur gebracht waarna het in een bekende hoeveelheid water met bekende temperatuur wordt geplaatst. Door de temperatuur van het water te meten na het mengen kan de warmtecapaciteit van het onbekende materiaal worden berekend.

Theorie¶

De soortelijke warmte $c$ van een materiaal is gedefinieerd als de hoeveelheid warmte $Q$ die nodig is om de temperatuur $T$ van een kilogram van het materiaal met één graad Celsius (of één Kelvin) te verhogen:

c = \frac{Q}{m \Delta T}

(1)

Waarbij $Q$ de hoeveelheid warmte in Joules is, $m$ de massa in kilogram is en $\Delta T$ de verandering in temperatuur is. Gegeven de wet van Black, die stelt dat de totale hoeveelheid warmte in een geïsoleerd systeem constant blijft, kunnen we de warmte die het onbekende materiaal verliest gelijkstellen aan de warmte die het water opneemt:

Q_{materiaal} = -Q_{water}

(2)

wanneer we de massa’s en de begintemperaturen van beide systemen kennen, maar slechts een van de twee soortelijke warmtes, kunnen we de onbekende soortelijke warmte berekenen. We combineren vergelijkingen (1) en (2) om de volgende vergelijking te krijgen:

T_e = \frac{c_w m_w T_{w,b}+c_m m_m T_{m,b}}{c_w m_w + c_m m_m}

(3)

Waarbij de subscripts $b$ en $e$ respectievelijk staan voor begintoestand en eindtoestand, $w$ voor water en $m$ voor het onbekende materiaal.

Bij metingen aan verschillende massa’s van het onbekende materiaal en vervolgens een least square fit aan bovenstaande vergelijking kunnen we een precieze waarde voor de soortelijke warmte van het onbekende materiaal bepalen. Dat is, wanneer de warmtecapaciteit van bijvoorbeeld de beker te verwaarlozen is.

Methode en materialen¶

Ontwerp¶

De bovenstaande theorie wordt gebruikt om de soortelijke warmte van een onbekend materiaal te bepalen. Het experiment bestaat uit het verwarmen van verschillende massa’s van het onbekende materiaal tot een bekende temperatuur, waarna het in een bekende hoeveelheid water met bekende temperatuur wordt geplaats. Door de temperatuur van het water te meten na het mengen kan de warmtecapaciteit van het onbekende materiaal worden berekend. Om de tijd voor het meten van meerdere materialen te reduceren, worden de data van de verschillende groepen in het lokaal samengevoegd. Van tevoren is afgesproken welke massa’s door welke groep worden gemeten, en hoeveel water er gebruikt wordt.

Materialen¶

Hieronder staat de lijst van benodigde materialen bij deze proef:

Calorimeter
Thermometer of temperatuursensor
Verwarmingsbron
Diverse massablokjes van onbekend materiaal
Weegschaal
Water
Maatcilinder of maatbeker

Figure 1:Een schematische weergave van de opstelling

Procedure¶

Bespreek wie welke massa’s van het onbekende materiaal gaat meten. Bespreek ook hoeveel water er gebruikt gaat worden. Bepaal de begintemperaturen. Hevel het aantal afgesproken massa’s in de maatbeker. Roer voorzicht zodat de temperatuur homogeen is. Noteer de hoogste gemeten temperatuur, dit is $T_e$ . Wissel de metingen uit met de andere groepen en voer de data-analyse uit.

Resultaten¶

# Sla figuren op met  
# 
# plt.savefig("Figuren/naam.png", dpi=450)
# waarbij naam vervangen wordt door de bestandsnaam. 
# Onderstaande voorbeeld code en output grafiek 
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

data = np.loadtxt(r"C:\Users\fiene\OneDrive\Project Q1 2025\IP Q2\experiment heetwater 21 november.csv", delimiter=';', skiprows=1)

x = np.linspace(0,10,11)
y = 2*x

from scipy.optimize import curve_fit

# Gegevens
delta_T = np.array([2.8, 3.4, 0.3, 2.9, 4.2, 4.0, 4.4])
m_w = np.array([300., 300., 305., 300., 300., 300., 300.]) / 1000  # kg
m_m = np.array([145.7, 199.32, 50.3, 150., 250., 150., 300.]) / 1000  # kg
T_wb = np.array([21., 20.8, 21.1, 20.9, 21.2, 20.8, 24.6])
T_mb = np.array([68.5, 68.5, 68.5, 68.5, 68.5, 68.5, 68.5])

#eindtemperatuur berekening
T_e = T_wb + delta_T

c_w = 4186  # J/kgK

# Fitfunctie uit theorie
def model(m_m, c_m):
    numerator = c_w*m_w*T_wb + c_m*m_m*T_mb
    denominator = c_w*m_w + c_m*m_m
    return numerator / denominator

popt, pcov = curve_fit(model, m_m, T_e, p0=[900]) 
c_m = popt[0]

print("Geschatte soortelijke warmte van het materiaal:")
print(f"c_m = {c_m:.2f} J/(kg·K)")

# Maken van de grafiek

mw_avg = np.mean(m_w)
Twb_avg = np.mean(T_wb)
Tmb_avg = np.mean(T_mb)

def model_avg(m, c_m):
    num = c_w * mw_avg * Twb_avg + c_m * m * Tmb_avg
    den = c_w * mw_avg + c_m * m
    return num / den

m_plot = np.linspace(min(m_m), max(m_m), 200)
T_fit = model_avg(m_plot, c_m)

plt.figure(figsize=(7,5))
plt.scatter(m_m, T_e, label="Gemeten eindtemperatuur", color="blue")
plt.plot(m_plot, T_fit, 'r-', label=f'Fit model (c_m = {c_m:.0f} J/kgK)')
plt.xlabel("Massa materiaal (kg)")
plt.ylabel("Eindtemperatuur (°C)")
plt.title("Fit voor soortelijke warmte van onbekend materiaal")
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()

Figure 2:Hier is het onderschrift van de figuur.

Discussie en conclusie¶

Hier een korte discussie en conclusie over de resultaten van het experiment en de implicaties daarvan.

In dit onderzoek hebben we de soortelijke warmte van een onbekend materiaal bepaald door het te mengen met water van bekende massa en temperatuur. Volgens de wet van Black moet de warmte die het materiaal verliest gelijk zijn aan de warmte die het water opneemt, en dat principe hebben we gebruikt om de soortelijke warmte te bepalen.

De metingen vertonen de verwachte trend: grotere massa’s van het materiaal leiden tot een grotere temperatuurstijging van het water. De fit sluit goed aan op de data, wat laat zien dat het mengmodel de situatie redelijk goed beschreven heeft.

Er zijn wel onzekerheden, zoals afkoeling van het materiaal tijdens het overbrengen, onnauwkeurigheden in de thermometer en het negeren van de warmtecapaciteit van de beker. Deze effecten kunnen de uitkomst iets beïnvloeden, maar niet genoeg om het resultaat onbetrouwbaar te maken.

Over het geheel genomen volgt de data het theoretische model goed en ligt de berekende soortelijke warmte in dezelfde orde van grootte als die van veelvoorkomende metalen. Dat maakt het aannemelijk dat het onbekende materiaal inderdaad een metaal is.

conclusie Uit het mengexperiment en de least-squares fit volgt een waarde voor de soortelijke warmte van het onbekende materiaal die in de buurt ligt van die van een typisch metaal. De theorie van warmtemenging komt goed overeen met de metingen, en de methode blijkt geschikt om de soortelijke warmte experimenteel te bepalen. Kleine meetfouten kunnen invloed hebben, maar de resultaten zijn consistent en fysisch realistisch. Daarmee kunnen we concluderen dat het experiment geslaagd is en dat de soortelijke warmte van het onbekende materiaal betrouwbaar is bepaald.